Proposición 34

Enunciado

Un espacio $X$ es compacto si y sólo si cualquier colección $C$ de cerrados de $X$ con la propiedad de la intersección finita tiene intersección $⋂_{C \in C} C$ no vacía.

Demostración

Sea una colección $A = {A_{i}}_{i \in I}$ una colección de subconjuntos de $X$ . Definimos a su vez

C = {X ∖ A : A \in A}

la colección de sus complementarios. Las siguientes afirmaciones son ciertas:

$A$ es una colección de abiertos si, y solo si, $C$ es una colección de cerrados.
La colección $A$ cubre $X$ si, y solo si, la intersección $⋂_{C \in C} C$ es vacía.
La subcolección finita ${A_{1}, \dots, A_{n}} \subset A$ cubre $X$ si, y solo si, la intersección de los correspondientes $C_{i} = X ∖ A_{i} \in C$ es vacía.

La primera es trivial, mientras que las otras se deducen de las leyes de DeMorgan.

Se tiene que ser compacto es equivalente, por su contrarrecíproco, a decir que "dada cualquier colección $A$ de abiertos, si ninguna subcolección finita de $A$ cubre $X$ , entonces la colección completa tampoco lo cubre". Expresándolo ahora en términos de los complementarios, esta afirmación es equivalente a que "dada cualquier colección $C$ de conjuntos cerrados, si toda intersección finita de elementos de $C$ es no vacía, entonces la intersección completa de elementos de $C$ es no vacía", que es lo que se quería probar. $◼$

Propiedad

Un caso especial de este resultado ocurre cuando se tiene una sucesión de conjuntos cerrados encajados

C_{1} \supset C_{2} \supset \dots \supset C_{n} \supset C_{n + 1} \supset \dots

en un espacio compacto $X$ . Si cada uno de estos $C_{i}$ es no vacío, entonces la colección de todos ellos $C = {C_{n}}_{n \in N}$ tiene la propiedad de la intersección finita.